已知函数f=x2+bx+c为偶函数，如果点A在函数f的图象上，且点B在g=f的图象上．（1

题文

已知函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R）为偶函数，如果点A（x，y）在函数f（x）的图象上，且点B（x，y2+1）在g（x）=f（x2+c）的图象上．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设F（x）=g（x）-λf（x）．是否存在实数λ，使F（x）在(-∞，-22)上为减函数，且在[-22，0)上为增函数？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）=x2+bx+c为偶函数，故f（-x）=f（x），即有（-x）2+b（-x）+c=x2+bx+c，解得b=0．由因为点A（x，y）在函数f（x）的图象上，且点B（x，y2+1）在g（x）=f（x2+c）的图象上，所以c=1，所以f（x）=x2+1（2）g（x）=f（x2+1）=（x2+1）2+1=x4+2x2+2．F（x）=g（x）-λf（x）=x4+（2-λ）x2+（2-λ），F（x1）-F（x2）=（x1+x2）（x1-x2）[x12+x22+（2-λ）]由题设当x1＜x2＜-22时，（x1+x2）（x1-x2）＞0，x12+x22+（2-λ）＞12+12+2-λ=3-λ，则3-λ≥0，λ≤3；当-22＜x1＜x2＜0时，（x1+x2）（x1-x2）＞0，x12+x22+（2-λ）＞12+12+2-λ=3-λ，则3-λ≥0，λ≥3故λ=3．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2+bx+c（b，c.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|