已知函数f=ax2+bx+c，当x=1时有最大值1，若x∈[m，n]，时，函数f的值域为[1n，1m]

题文

已知函数f（x）=ax2+bx+c，（a，b，c∈R且a≠0）（1）当x=1时有最大值1，若x∈[m，n]，（0＜m＜n）时，函数f（x）的值域为[1n，1m]，证明：f(m)f(n)=nm（2）若b=4，c=-2时，对于给定正实数a有一个最小负数g（a），使得x∈[g（a），0]时，|f（x）|≤4恒成立，问a为何值时，g（a）最小，并求出这个最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由条件得：a＜0，1m≤1，即m≥1，∴[m，n]⊂[1，+∞）∴f（m）=1m，f(n)=1n，∴f(m)f(n)=nm（2）f（x）=a（x+2a，显然f（0）=-2，对称轴x=-2a＜01，当-2-4a＜-4，即0＜a＜2时，g（a）∈（-2a，0），且f（g（a））=-4令ax2+4x-2=-4，解得x=-2±4-2aa，取g(a)=-2+4-2aa=-22+4-2a∵0＜a＜2∴g（a）＞-12，当-2-4a≥-4，即a≥2，g（a）＜-2a，且f（g（a））=4令ax2+4x-2=4，解得x=-2±4+6aa，取g（a）=-2-4+6aa=-64+6a-2∵a≥2，∴g（a）≥-3，当且仅当a=2时取等号．综上，当a=2时，g（a）最小值为-3

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解析

1m

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax2+bx+c，（a.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|