已知函数f(x)=a(x

题文

已知函数f(x)=a(x-1)2+1bx+c-b（a，b，c∈N）的图象按向量e=(-1，0)平移后得到的图象关于原点对称，且f（2）=2，f（3）＜3．（1）求a，b，c的值；（2）设0＜|x|＜1，0＜|t|≤1．求证：|t+x|+|t-x|＜|f（tx+1）|（3）定义函数G（x）=f（x）-x+2．当n为正整数时，求证：G（4）×G（6）×G（8）×…×G（2n）＞2n+12． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）函数f（x）的图象按向量e=(-1，0)平移后得到的图象所对应的函数式为g(x)=f(x+1)=ax2+1bx+c因为图象关于原点对称，∴g（-x）=-g（x），即a(-x)2+1b(-x)+c=-ax2+1bx+c∵a∈N，∴ax2+1＞0，b（-x）+c=bx+c，∴c=0∵f（2）=2，∴a=2b-1，又f（3）＜3，∴4a+1＜6b由条件知a=1，b=1（2）∵f（x）=(x-1)2+1x-1，∴f（tx+1）=tx+1tx∴|f（tx+1）|=|tx+1tx|=|tx|+|1tx|≥2|tx|•|1tx|=2当且仅当|tx|=1时等号成立．但0＜|x|＜1，0＜|t|≤1，∴|tx|≠1，|f（tx+1）|＞2．由于S=（|t+x|+|t-x|）2=2（t2+x2）+2|t2-x2|当|t|≥|x|时，S=4t2≤4；当|t|＜|x|时S=4x2＜4．∴|t+x|+|t-x|≤2＜|f（tx+1）|，即|t+x|+|t-x|＜|f（tx+1）|（3）由（1）知：G（x）=f（x）-x+2=xx-1令A=G（4）×G（6）×G（8）×…×G（2n）=43×65×…×2n2n-1由不等式ba＞b+ma+m（b＞a，a，b，m∈R+），得43＞54，65＞76，…，2n-22n-3＞2n-12n-2，2n2n-1＞2n+12n将这些同向不等式相乘得A＞54×76×…×2n-12n-2×2n+12nA2＞43×54×65×76×…×2n2n-1×2n+12n=2n+13＞2n+14故A＞2n+12，即G（4）×G（6）×G（8）×…×G（2n）＞2n+12．

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解析

e

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=a(x-1)2+1bx.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|