已知函数f=xlnx，g(x)=x+a2x，．求f在区间[1，e]上的最大值；若对任意的x1，x2∈[1

题文

已知函数f（x）=xlnx，g(x)=x+a2x，（a＞0）．（Ⅰ）求f（x）在区间[1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值；（Ⅱ）若对任意的x1，x2∈[1，e]都有g（x1）≥f（x2）成立，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵f（x）=xlnx，∴x＞0，f′（x）=lnx+1，由f′（x）=lnx+1＞0，得x＞1e，∴f（x）的增区间是（1e，+∞）．由f′（x）=lnx+1＜0，得x＜1e，∴f（x）的减区间是（0，1e）．∴f（x）在区间[1，e]上上单调递增，∴f（x）在区间[1，e]上的最大值f（x）max=f（e）=elne=e．（Ⅱ）对任意的x1，x2∈[1，e]都有g（x1）≥f（x2）成立，等价于对任意的x1，x2∈[1，e]都有[g（x）]min≥[f（x）]max． 当x∈[1，e]时，f′（x）=lnx+1＞0．∴函数f（x）=xlnx在[1，e]上是增函数．∴[f（x）]max=f（e）=e．∵g(x)=x+a2x，（a＞0），∴g ′(x)=1-a2x2=(x+a)(x-a)x2，且x∈[1，e]，a＞0．①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，g′(x)= (x+a)(x-a)x2＞0，∴函数g(x)=x+a2x，在[1，e]上是增函数，∴[g（x）]min=g（1）=1+a2．由1+a2≥e，得a≥e-1，又0＜a＜1，∴a不合题意． ②当1≤a≤e时，若1≤x＜a，则g′(x)= (x+a)(x-a)x2＜0，若a＜x≤e，则g′(x)= (x+a)(x-a)x2＞0．∴函数g(x)=x+a2x在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数．∴[g（x）]min=g（a）=2a．由2a≥e，得a≥e2，又1≤a≤e，∴e2≤a≤e． ③当a＞e且x∈[1，e]时，g′(x)= (x+a)(x-a)x2＜0，∴函数g(x)=x+a2x在[1，e]上是减函数．∴[g(x)]min=g(e)=e+a2e．由e+a2e≥e，得a∈R，又a＞e，∴a＞e． （15分）综上所述，a的取值范围为[e2，+∞)．

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解析

1e

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=xlnx，g(x)=x.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|