设函数y=f=x．若a≠b，ab≠0，过两点、的中点作与x轴垂直的直线，此直线与函数y=

题文

（文）设函数y=f（x）=x（x-a）（x-b）（a、b∈R）．（Ⅰ）若a≠b，ab≠0，过两点（0，0）、（a，0）的中点作与x轴垂直的直线，此直线与函数y=f（x）的图象交于点P（x0，f（x0）），求证：函数y=f（x）在点P处的切 线过点（433，0）；（Ⅱ）若a=b（a≠0），且当x∈[0，|a|+1]时f（x）＜2a2恒成立，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）证明：过两点（0，0）、（a，0）的中点作与x轴垂直的直线方程为x=a2则P(a2，a24(b-a2))，…（1分）y'=3x2-（2a+2b）x+ab，…（2分）所求切线斜率为3(a2)2-(2a+2b)•a2+ab=-a24，…（3分）切线方程为y-a24(b-a2)=-a24(x-a2)，令y=0，解得x=b，所以，函数y=f （x）过点P的切线过点（b，0）…（5分）（II）因为a=b，所以y=f（x）=x（x-a）2，y′=3x2-4ax+a2=3(x-a)(x-a3)，…（6分）当a＞0时，函数y=f(x)在(-∞，a3)上单调递增，在（a3，a）单调递减，在（a，+∞）上单调递增．所以，根据题意有即427a3＜2a2a+1＜2a2解之得1＜a＜272或a＜-12，结合a＞0，所以1＜a＜272…（9分）当a＜0时，函数y=f(x)在(a3，+∞)单调递增．                  …（10分）所以，根据题意有f（1-a）＜2a2，…（11分）即（1-a）（1-a-a）2＜2a2，整理得4a3-6a2+5a-1＞0，（*）令g（a）=4a3-6a2+5a-1，∴g′(a)=12a2-12a+5=12(a-12)2+2＞0∴g（a）在区间（-∞，0）单调递增，又g（0）=-1＜0，所以“*”不等式无解．…（13分）综上可知：1＜a＜272．                               …（15分）

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解析

a2

考点

据考高分专家说，试题“（文）设函数y=f（x）=x（x-a）（.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|