已知函数f=ax2+ln．当a=

题文

已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）．（Ⅰ）当a=-14时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围．（Ⅲ）求证：(1+22×3)(1+43×5)(1+85×9)•…•[1+2n(2n-1+1)(2n+1)]＜e（其中n∈N*，e是自然对数）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）当a=-14时，f（x）=-14x2+ln（x+1）（x＞-1），f′（x）=-12x+1x+1=-(x+2)(x-1)2(x+1)（x＞-1），由f'（x）＞0，解得-1＜x＜1，由f'（x）＜0，解得x＞1．故函数f（x）的单调递增区间为（-1，1），单调递减区间为（1，+∞）．（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即ax2+ln（x+1）-x≤0恒成立，设g（x）=ax2+ln（x+1）-x（x≥0），只需g（x）max≤0即可．由g′（x）=2ax+1x+1-1=x[2ax+(2a-1)]x+1，（ⅰ）当a=0时，g′（x）=-xx+1，当x＞0时，g'（x）＜0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，故g（x）≤g（0）=0成立．（ⅱ）当a＞0时，由g′（x）=x[2ax+(2a-1)]x+1=0，因x∈[0，+∞），所以x=12a-1，①若12a-1＜0，即a＞12时，在区间（0，+∞）上，g'（x）＞0，则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（x）在[0，+∞）上无最大值，此时不满足条件；②若12a-1≥0，即0＜a≤12时，函数g（x）在（0，12a-1）上单调递减，在区间（12a-1，+∞）上单调递增，同样g（x）在[0，+∞）上无最大值，不满足条件．（ⅲ）当a＜0时，g′（x）=x[2ax+(2a-1)]x+1，∵x∈[0，+∞），∴2ax+（2a-1）＜0，∴g'（x）≤0，故函数g（x）在[0，+∞）上单调递减，故g（x）≤g（0）=0成立．综上所述，实数a的取值范围是（-∞，0]．（Ⅲ）据（Ⅱ）知当a=0时，ln（x+1）≤x在[0，+∞）上恒成立，又2n(2n-1+1)(2n+1)=2（12n-1+1-12n+1），∵ln{（1+22×3）（1+43×5）（1+85×9）•…•[1+2n(2n-1+1)(2n+1)]}=ln（1+22×3）+ln（1+43×5）+ln（1+85×9）+…+ln[1+2n(2n-1+1)(2n+1)]＜22×3+43×5+85×9+…+2n(2n-1+1)(2n+1)=2[（12-13）+（13-15）+（15-19）+…+（12n-1+1-12n+1）]=2[（12-12n+1）]＜1，∴（1+22×3）（1+43×5）（1+85×9）•…•[1+2n(2n-1+1)(2n+1)]＜e．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|