已知常数a＞0，函数f(x)=x3+3a4x，

题文

已知常数a＞0，函数f(x)=x3+3a4x，|x|≥a2494a2x，|x|＜a2（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若0＜a≤2，求f（x）在区间[1，2]上的最小值g（a）；（3）是否存在常数t，使对于任意x∈(a2，2t-a2)(t＞a2)时，f（x）f（2t-x）+f2（t）≥[f（x）+f（2t-x）]f（t）恒成立，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当|x|＜a2时，f(x)=494a2x为增函数． …（1分）当|x|≥a2时，f'（x）=3x2-3a4x2．令f'（x）＞0，得x＞a或x＜-a．…（3分）∴f（x）的增区间为（-∞，-a），(-a2，a2)和（a，+∞）．…（4分）（2）函数的图象如图，由图可知， ①当1＜a＜2时，a2＜1＜a，f（x）在区间[1，a]上递减，在[a，2]上递增，最小值为f（a）=4a3；…（6分）②当0＜a≤1时，f（x）在区间[1，2]为增函数，最小值为f（1）=1+3a4；…（8分）③当a=2时，f（x）在区间[1，2]为减函数，最小值为f（a）=4a3； …（9分）综上，f（x）最小值g(a)=1+3a4，0＜a≤14a3，1＜a≤2．  …（10分）（3）由f（x）f（2t-x）+f2（t）≥[f（x）+f（2t-x）]f（t），可得[f（t）-f（x）][f（t）-f（2t-x）]≥0，…（12分）即f(t)≤f(x)f(t)≤f(2t-x)或f(t)≥f(x)f(t)≥f(2t-x)成立，所以t为极小值点，或t为极大值点．又x∈(a2，2t-a2)时，f（x）没有极大值，所以t为极小值点，即t=a…（16分）（若只给出t=a，不说明理由，得1分）

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解析

a2

考点

据考高分专家说，试题“已知常数a＞0，函数f(x)=x3+3a.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|