若函数f对任意的实数x1，x2∈D，均有

题文

若函数f（x）对任意的实数x1，x2∈D，均有|f（x2）-f（x1）|≤|x2-x1|，则称函数f（x）是区间D上的“平缓函数”，（1）判断g（x）=sinx和h（x）=x2-x是不是实数集R上的“平缓函数”，并说明理由；（2）若数列{xn}对所有的正整数n都有 |xn+1-xn|≤1(2n+1)2，设yn=sinxn，求证：|yn+1-y1|＜14． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）g（x）=sinx是R上的“平缓函数，但h（x）=x2-x不是区间R的“平缓函数”；设φ（x）=x-sinx，则φ'（x）=1-cosx≥0，则φ（x）=x-sinx是实数集R上的增函数，不妨设x1＜x2，则φ（x1）＜φ（x2），即x1-sinx1＜x2-sinx2，则sinx2-sinx1＜x2-x1，①又y=x+sinx也是R上的增函数，则x1+sinx1＜x2+sinx2，即sinx2-sinx1＞x1-x2，②由  ①、②得-（x2-x1）＜sinx2-sinx1＜x2-x1因此|sinx2-sinx1|＜|x2-x1|，对x1＜x2的实数都成立，当x1＞x2时，同理有|sinx2-sinx1|＜|x2-x1|成立又当x1=x2时，不等式|sinx2-sinx1|=|x2-x1|=0，故 对任意的实数x1，x2∈R均 有|sinx2-sinx1|≤|x2-x1|因此 sinx是R上的“平缓函数．由于|h（x1）-h（x2）|=|（x1-x2）（x1+x2-1）|取x1=3，x2=1，则|h（x1）-h（x2）|=4＞|x1-x2|，因此，h（x）=x2-x不是区间R的“平缓函数”．（2）由（1）得：sinx是R上的“平缓函数，则|sinx2-sinx1|≤|x2-x1|，所以|yn+1-yn|≤|xn+1-xn|，而|xn+1-xn|≤1(2n+1)2，所以 |yn+1-yn|≤1(2n+1)2＜14n2+4n=14(1n-1n+1)而|yn+1-y1|=|（yn+1-yn）+（yn-yn-1）+（yn-1-yn-2）+…（y2-y1）|所以|yn+1-y1|≤|yn+1-yn|+|yn-1-yn-2|+…+|y2-y1|，则 |yn+1-y1|≤14[(1n-1n+1)+(1n-1-1n)+…+(1-12)]因此 |yn+1-y1|≤14(1-1n+1)＜14．

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解析

1(2n+1)2

考点

据考高分专家说，试题“若函数f（x）对任意的实数x1，x2∈D.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|