设f(x)=loga1

题文

设f(x)=loga1-mxx-1为奇函数，g(x)=f(x)+loga(x-1)(ax+1)（a＞1且m≠1）（1）求m的值及g（x）的定义域；（2）若g（x）在(-52，-32)上恒为正，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f(x)=loga1-mxx-1是奇函数∴f（x）+f（-x）=loga1-mxx-1+loga1+mx-x-1=loga1-m2x21-x2=0解得m2=1由m≠1得m=-1． …（2分）∴f(x)=loga1+xx-1，∴g（x）=loga1+xx-1+loga[(x-1)(ax+1)]则，1+xx-1＞0(x-1)(ax+1)＞0即x＜-1，或x＞1，∴g（x）的定义域为{x|x＜-1，或x＞1}． …（6分）（2）∵a＞1g（x）loga1+xx-1+loga[(x-1)(ax+1)]=loga[(x+1)(ax+1)]在(-52，-32)上恒为正，即(x+1)(ax+1)＞1，…（8分）∴a＞-1x+1，x∈(-52，-32)，…（10分）由于y=-1x+1在(-52，-32)上为增函数故-1x+1≤-1-32+1=2∴a＞2故a的取值范围为（2，+∞）                …（12分）

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解析

1-mxx-1

考点

据考高分专家说，试题“设f(x)=loga1-mxx-1为奇函.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|