出定义在上的三个函数：f=lnx，g=x2

题文

出定义在（0，+∞）上的三个函数：f（x）=lnx，g（x）=x2-af（x），h(x)=x-ax，已知g（x）在x=1处取极值．（Ⅰ）确定函数h（x）的单调性；（Ⅱ）求证：当1＜x＜e2时，恒有x＜2+f(x)2-f(x)成立；（Ⅲ）把函数h（x）的图象向上平移6个单位得到函数h1（x）的图象，试确定函数y=g（x）-h1（x）的零点个数，并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题设，g（x）=x2-alnx，则g′(x)=2x-ax．（1分）由已知，g'（1）=0，即2-a=0⇒a=2．（2分）于是h(x)=x-2x，则h′(x)=1-1x．（3分）由h′(x)=1-1x＞0⇒x＞1，所以h（x）在（1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数．（4分）证明：（Ⅱ）当1＜x＜e2时，0＜lnx＜2，即0＜f（x）＜2．（5分）欲证x＜2+f(x)2-f(x)，只需证x[2-f（x）]＜2+f（x），即证f(x)＞2(x-1)x+1．（6分）设φ(x)=f(x)-2(x-1)x+1=lnx-2(x-1)x+1，则φ′(x)=1x-2(x+1)-2(x-1)(x+1)2=(x-1)2x(x+1)2．当1＜x＜e2时，φ'（x）＞0，所以φ（x）在区间（1，e2）上为增函数．（7分）从而当1＜x＜e2时，φ（x）＞φ（1）=0，即lnx＞2(x-1)x+1，故x＜2+f(x)2-f(x)．（8分）（Ⅲ）由题设，h1(x)=x-2x+6．令g（x）-h1（x）=0，则x2-2lnx-(x-2x+6)=0，即2x-2lnx=-x2+x+6．（9分）设h2(x)=2x-2lnx，h3（x）=-x2+x+6（x＞0），则h2′(x)=1x-2x=x-2x，由x-2＞0，得x＞4．所以h2（x）在（4，+∞）上是增函数，在（0，4）上是减函数．（10分）又h3（x）在（0，12）上是增函数，在（12，+∞）上是减函数．因为当x→0时，h2（x）→+∞，h3（x）→6．又h2（1）=2，h3（1）=6，h2（4）=4-2ln4＞0，h3（4）=-6，则函数h2（x）与h3（x）的大致图象如下：（12分） 由图可知，当x＞0时，两个函数图象有2个交点，故函数y=g（x）-h1（x）有2个零点．（13分）

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解析

ax

考点

据考高分专家说，试题“出定义在（0，+∞）上的三个函数：f（x.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|