设函数f对所有的实数x都满足f=f，求证：存在4个函数fi满足：对i=1，2，3，4，fi是偶函

题文

设函数f（x）对所有的实数x都满足f（x+2π）=f（x），求证：存在4个函数fi（x）（i=1，2，3，4）满足：（1）对i=1，2，3，4，fi（x）是偶函数，且对任意的实数x，有fi（x+π）=fi（x）；（2）对任意的实数x，有f（x）=f1（x）+f2（x）cosx+f3（x）sinx+f4（x）sin2x． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：记g(x)=f(x)+f(-x)2，h(x)=f(x)-f(-x)2，则f（x）=g（x）+h（x），且g（x）是偶函数，h（x）是奇函数，对任意的x∈R，g（x+2π）=g（x），h（x+2π）=h（x）．令f1(x)=g(x)+g(x+π)2，f2(x)=g(x)-g(x+π)2cosxx≠kπ+π20x=kπ+π2，f3(x)=h(x)-h(x+π)2sinxx≠kπ0x=kπ，f4(x)=h(x)+h(x+π)2sin2xx≠kπ20x=kπ2，其中k为任意整数．则fi（x），i=1，2，3，4是偶函数，且对任意的x∈R，fi（x+π）=fi（x），i=1，2，3，4．下证对任意的x∈R，有f1（x）+f2（x）cosx=g（x）．当x≠kπ+π2（k∈Z）时，显然成立；当x=kπ+π2（k∈Z）时，因为f1(x)+f2(x)cosx=f1(x)=g(x)+g(x+π)2，而g(x+π)=g(kπ+3π2)=g(kπ+3π2-2(k+1)π)=g(-kπ-π2)=g(kπ+π2)=g(x)，故对任意的x∈R，f1（x）+f2（x）cosx=g（x）．下证对任意的x∈R，有f3（x）sinx+f4（x）sin2x=h（x）．当x≠kπ2（k∈Z）时，显然成立；当x=kπ（k∈Z）时，h（x）=h（kπ）=h（kπ-2kπ）=h（-kπ）=-h（kπ），所以h（x）=h（kπ）=0，而此时f3（x）sinx+f4（x）sin2x=0，故h（x）=f3（x）sinx+f4（x）sin2x；当x=kπ+π2（k∈Z）时，h(x+π)=h(kπ+3π2)=h(kπ+3π2-2(k+1)π)=h(-kπ-π2)=-h(kπ+π2)=-h(x)，故f3(x)sinx=h(x)-h(x+π)2=h(x)，又f4（x）sin2x=0，从而有h（x）=f3（x）sinx+f4（x）sin2x．于是，对任意的x∈R，有f3（x）sinx+f4（x）sin2x=h（x）．综上所述，结论得证．

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解析

f(x)+f(-x)2

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）对所有的实数x都满足f（x.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|