已知函数f是定义域为R的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称．求f的值；证明函数f是以4为周期的周期函数；若f=x（0

题文

已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）证明函数f（x）是以4为周期的周期函数；（Ⅲ）若f（X）=x（0＜x≤1），求x∈[-1，3]时，函数f（x）的解析式，求x∈R时，函数f（x）的解析式，并画出满足条件的函数f（x）至少一个周期的图象． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵函数f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x）．令x=0，f（0）=-f（0），2f（0）=0，∴f（0）=0．…（3分）（Ⅱ）证：∵函数f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）…（1）又f（x）关于直线x=1对称，∴f（1+x）=f（1-x）．在（1）中的x换成x+1，即f（1+x）=-f（-1-x），即f（1-x）=-f（-1-x）…（2）在（2）中，将1-x换成x，即f（x）=-f（-2+x）…（3）在（3）中，将x换成2+x，即f（2+x）=-f（x）…（4）由（3）、（4）得：f（-2+x）=f（2+x）．再将x-2换成x，得：f（x）=f（x+4）．∴f（x）是以4为周期的周期函数．…（8分）（Ⅲ）设-1≤x＜0时，则0＜-x≤1，所以f（-x）=-x．又f（-x）=-f（x），所以f（x）=x，又f（0）=0，所以，当-1≤x≤1时，f（x）=x．当1＜x＜3时，-3＜-x＜-1，则-1＜2-x＜1． 所以f（2-x）=2-x，而函数f（x）的图象关于直线x=1对称，所以f（2-x）=f（x），即f（x）=2-x．所以x∈[-1，3]时，函数f（x）的解析式为：f(x)=x，-1≤x≤1-x+2，1＜x≤3再由f（x）是以4为一个周期的周期函数，从而有x∈R时，函数f（x）的解析式为：f(x)=x-4k，4k-1≤x≤4k+1-x+2+4k，4k+1＜x＜4k+3(k∈Z)，函数f（x）一个周期的图象如图所示．…（13分）

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解析

x，-1≤x≤1-x+2，1＜x≤3

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|