设直线l：y=g，曲线S：y=F．若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；②对任意x∈R都有g≥F．

题文

设直线l：y=g（x），曲线S：y=F（x）．若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；②对任意x∈R都有g（x）≥F（x）．则称直线l为曲线S的“上夹线”．（Ⅰ）已知函数f（x）=x-2sinx．求证：y=x+2为曲线f（x）的“上夹线”．（Ⅱ）观察下图： 根据上图，试推测曲线S：y=mx-nsinx（n＞0）的“上夹线”的方程，并给出证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（Ⅰ）由f'（x）=1-2cosx=1得cosx=0，（1分）当x=-π2时，cosx=0，此时y1=x+2=-π2+2，y2=x-2sinx=-π2+2，（2分）y1=y2，所以（-π2，-π2+2）是直线l与曲线S的一个切点；（3分）当x=3π2时，cosx=0，此时y1=x+2=3π2+2，y2=x-2sinx=3π2+2，（4分）y1=y2，，所以（3π2，3π2+2）是直线l与曲线S的一个切点；（5分）所以直线l与曲线S相切且至少有两个切点；对任意x∈R，g（x）-F（x）=（x+2）-（x-2sinx）=2+2sinx≥0，所以g（x）≥F（x）（6分）因此直线l：y=x+2是曲线S：y=ax+bsinx的“上夹线”．（7分）（Ⅱ）推测：y=mx-nsinx（n＞0）的“上夹线”的方程为y=mx+n（9分）①先检验直线y=mx+n与曲线y=mx-nsinx相切，且至少有两个切点：设：F（x）=mx-nsinx∵F'（x）=m-ncosx，令F'（x）=m-ncosx=m，得：x=2kπ±π2（k∈Z）（10分）当x=2kπ-π2时，F（2kπ-π2）=m（2kπ-π2）+n故：过曲线F（x）=mx-nsinx上的点2kπ-π2，m（2kπ-π2）+n）的切线方程为：y-[m（2kπ-π2）+n]=m[-（2kπ-π2）]，化简得：y=mx+n．即直线y=mx+n与曲线y=F（x）=mx-nsinx相切且有无数个切点．（12分）不妨设g（x）=mx+n②下面检验g（x）≥F（x）∵g（x）-F（x）=m（1+sinx）≥0（n＞0）∴直线y=mx+n是曲线y=F（x）=mx-nsinx的“上夹线”．（14分）

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解析

π2

考点

据考高分专家说，试题“设直线l：y=g（x），曲线S：y=F（.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|