已知函数f是定义在[

题文

已知函数f（x）是定义在[-e，0）∪（0，e]上的奇函数，当x∈（0，e]时，f（x）=ax+lnx（其中e是自然界对数的底，a∈R）（1）求f（x）的解析式；（2）设g(x)=ln|x||x|，x∈[-e，0)，求证：当a=-1时，f(x)＞g(x)+12；（3）是否存在实数a，使得当x∈[-e，0）时，f（x）的最小值是3？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设x∈[-e，0），则-x∈（0，e]，∴f（-x）=-ax+ln（-x），又∵f（x）是定义在[-e，0）∪（0，e]上的奇函数，∴f（x）=-f（-x）=ax-ln（-x），∴函数f（x）的解析式为f(x)=ax-ln(-x)，x∈[-e，0)ax+lnx，x∈(0，e] （2）证明：当x∈[-e，0）且a=-1时，f(x)=-x-ln(-x)，g(x)=ln(-x)-x，设h(x)=ln(-x)-x+12，∵f′(x)=-1-1x=-x+1x，∴当-e≤x≤-1时，f'（x）≤0，此时f（x）单调递减；当-1＜x＜0时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增，∴f（x）min=f（-1）=1＞0，又∵h′(x)=ln(-x)-1x2，∴当-e≤x＜0时，h'（x）≤0，此时h（x）单调递减，∴h(x)max=h(-e)=1e+12＜12+12=1=f(x)min∴当x∈[-e，0）时，f（x）＞h（x），即f(x)＞g(x)+12 （3）假设存在实数a，使得当x∈[-e，0）时，f（x）=ax-ln（-x）有最小值是3，则f′(x)=a-1x=ax-1x（ⅰ）当a=0，x∈[-e，0）时，f′(x)=-1x＞0．f（x）在区间[-e，0）上单调递增，f（x）min=f（-e）=-1，不满足最小值是3（ⅱ）当a＞0，x∈[-e，0）时，f'（x）＞0，f（x）在区间[-e，0）上单调递增，f（x）min=f（-e）=-ae-1＜0，也不满足最小值是3（ⅲ）当-1e≤a＜0，由于x∈[-e，0），则f′(x)=a-1x≥0，故函数f（x）=ax-ln（-x）是[-e，0）上的增函数．∴f（x）min=f（-e）=-ae-1=3，解得a=-4e＜-1e（舍去）（ⅳ）当a＜-1e时，则当-e≤x＜1a时，f′(x)=a-1x＜0，此时函数f（x）=ax-ln（-x）是减函数；当1a＜x＜0时，f′(x)=a-1x＞0，此时函数f（x）=ax-ln（-x）是增函数．∴f(x)min=f(1a)=1-ln(-1a)=3，解得a=-e2综上可知，存在实数a=-e2，使得当x∈[-e，0）时，f（x）有最小值3．

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解析

ax-ln(-x)，x∈[-e，0)ax+lnx，x∈(0，e]

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）是定义在[-e，0）∪（.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|