已知函数f=ln

题文

已知函数f（x）=ln（2+3x）-32x2．（1）求函数y=f（x）的极大值；（2）令g（x）=f（x）+32x2+（m-1）x（m为实常数），试判断函数g（x）的单调性；（3）若对任意x∈[16，13]，不等式|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0均成立，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）=ln（2+3x）-32x2，∴函数y=f（x）的定义域为（-23，+∞）．由f′(x)=33x+2-3x=3-9x2-6x3x+2=-9(x+1)(x-13)3x+2=0，得x=13，当x∈(-23，13)时，f′（x）＞0，当x∈(13，+∞)时，f′（x）＜0．∴y=f（x）在(-23，12]上为增函数，在[13，+∞)上为减函数，∴函数f（x）的极大值为f(13)=ln(2+3×13)-32×(13)2=ln3-16．（2）由g（x）=f（x）+32x2+（m-1）x，得g（x）=ln（2+3x）+（m-1）x  （x＞-23），所以g′(x)=32+3x+m-1=3(m-1)x+2m+12+3x．①当m-1=0，即m=1时，g′(x)=32+3x＞0，∴g（x）在(-23，+∞)上为增函数；②当m-1≠0，即m≠1时，g′(x)=3(m-1)x+2m+12+3x=3(m-1)[x+2m+13(m-1)]2+3x．由g′（x）=0，得：x=-2m+13(m-1)，∵-2m+13(m-1)-(-23)=-1m-1，∴1°若m＞1，则-1m-1＜0，-2m+13(m-1)＜-23，∴x＞-23时，g′（x）＞0，∴g（x）在(-23，+∞)上为增函数；2°若m＜1，则-2m+13(m-1)＞-23，∴当x∈(-23，-2m+13(m-1))时，g′（x）＞0；当x∈(-2m+13(m-1)，+∞)时，g′（x）＜0，∴g（x）在(-23，-2m+13(m-1)]上为增函数，在[-2m+13(m-1)，+∞)上为减函数．综上可知，当m≥1时，g（x）在(-23，+∞)上为增函数；当m＜1时，g（x）在(-23，-2m+13(m-1)]上为增函数，在[-2m+13(m-1)，+∞)上为减函数．（3）∵f′(x)=32+3x-3x，由|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0，得：|a-lnx|+ln32+3x＞0，∵x∈[16，13]，∴0≤ln32+3x≤ln65，而|a-lnx|≥0，∴要对任意x∈[16，13]，不等式|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0均成立，须ln32+3x与|a-lnx|不同时为0．因当且仅当x=13时，ln32+3x=0，所以为满足题意必有|a-ln13|≠0，即a≠ln13．故对任意x∈[16，13]，不等式|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0均成立的实数a的取值范围是{a|a≠ln13}．

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解析

32

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ln（2+3x）-32.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|