已知真命题：“函数y=f的图象关于点P成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f

题文

已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）-b 是奇函数”．（1）将函数g（x）=x3-3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；（2）求函数h（x）=log22x4-x图象对称中心的坐标． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）将函数g（x）=x3-3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，平移后图象对应的函数解析式为y=（x+1）3-3（x+1）2+2=x3-3x，由于函数y=x3-3x是奇函数，由题设真命题知，函数g（x）图象对称中心的坐标是（1，-2）．（2）设函数h（x）=log22x4-x图象对称中心为P（a，b），由题设知函数f（x）=h（x+a）-b是奇函数．则f（x）=log22(x+a)4-(x+a)-b．由不等式2(x+a)4-(x+a)＞0的解集关于原点对称，得a=2．此时f（x）=log22(x+2)2-x-b，x∈（-2，2）．任取x∈（-2，2），由f（-x）+f（x）=0，得b=1，所以函数函数h（x）=log22x4-x图象对称中心为P（2，1）

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解析

2x4-x

考点

据考高分专家说，试题“已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|