设函数f=lnx

题文

设函数f（x）=lnx-px+1，其中p为常数．（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；（Ⅱ）当p＞0时，若对任意的x＞0，恒有在f（x）≤0，求p的取值范围；（Ⅲ）求证：ln2222+ln3232+…+lnn2n2＜2n2-n-12(n+1)(n∈N，n≥2)． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵f（x）=lnx-px+1定义域为（0，+∞），∴f′(x)=1x-p=1-pxx，当p≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上无极值点当p＞0时，令f'（x）=0，∴x=1p∈（0，+∞），f'（x）、f（x）随x的变化情况如下表： 从上表可以看出：当p＞0时，f（x）有唯一的极大值点x=1p（Ⅱ）当p＞0时，在x=1p处取得极大值f(1p)=ln1p，此极大值也是最大值，要使f（x）≤0恒成立，只需f(1p)=ln1p≤0，∴p≥1∴p的取值范围为[1，+∞）（Ⅲ）令p=1，由（Ⅱ）知，lnx-x+1≤0，∴lnx≤x-1，∵n∈N，n≥2∴lnn2≤n2-1，∴lnn2n2≤n2-1n2=1-1n2∴ln2222+ln3232++lnn2n2≤(1-122)+(1-132)++(1-1n2)=(n-1)-(122+132++1n2)＜(n-1)-(12×3+13×4++1n(n+1))=(n-1)-(12-13+13-14++1n-1n+1)=(n-1)-(12-1n+1)=2n2-n-12(n+1)∴结论成立

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解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=lnx-px+1，其中p.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|