定义在实数集R上的函数f，如果存在函数g=Ax+B使得f≥g对任意的x∈R都成立，则称g为函数f的一个承托函

题文

定义在实数集R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=Ax+B（A，B为常数）使得f（x）≥g（x）对任意的x∈R都成立，则称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．以下说法（1）函数f（x）=x2-2x不存在承托函数；（2）函数f（x）=x3-3x不存在承托函数；（3）函数f(x)=2xx2-x+1不存在承托函数；（4）g（x）=1为函数f（x）=x4-2x3+x2+1的一个承托函数；（5）g（x）=x为函数f（x）=ex-1的一个承托函数．中正确的个数为（ ）A．1B．2C．3D．4 题型：未知 难度：其他题型

答案

根据承托函数的定义知：只要函数f（x）有最小值，就一定有承托函数g（x），只要g（x）的最大值小于等于f（x）的最小值即可．（1）错，因为f（x）=x2-2x=（x-1）2-1，当x=1时，f（x）有最小值-1所以存在承托函数，例如：g（x）=-1就是其中一个；（2）对，因为f（x）=x3-3x的导数f′（x）=3x2-3，令f′（x）=0，得：x=±1所以，当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0，函数单调递增；当x∈（-1，1）时，f′（x）＜0，函数单调递减；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数单调递增．由此可知：函数无最小值，不存在承托函数；（3）错，因为f(x)=2xx2-x+1定义域为R，用判别式法求值域如下：把y=2xx2-x+1变形得：yx2-（y+2）x+y=0当y=0时，x=0当y≠0时，由△=（y+2）2-4y2≥0得：-23≤y＜0或0＜y≤2综上可知：-23≤y≤2，故y有最小值-23所以，f(x)=2xx2-x+1存在承托函数，例如：g（x）=-23（4）对，因为函数f（x）=x4-2x3+x2+1的导数 f′（x）=4x3-6x2+2x=2x（2x-1）（x-1）当x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0，函数单调递减；当x∈（0，12）时，f′（x）＞0，函数单调递增；当x∈（12，1）时，f′（x）＜0，函数单调递减；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数单调递增又∵f（0）=1，f（1）=1，∴f（x）的最小值为1，所以g（x）=1是它的承托函数（5）错，因为ex＞0，所以函数f（x）=ex-1＞-1因为对于x∈R，g（x）=x≤-1显然不能恒成立，所以，g（x）=x不是函数f（x）=ex-1的一个承托函数

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解析

2xx2-x+1

考点

据考高分专家说，试题“定义在实数集R上的函数f（x），如果存在.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|