已知函数f(x)=14x+2(x∈R)．证明f(x)+f(1

题文

已知函数f(x)=14x+2(x∈R)．（Ⅰ）证明f(x)+f(1-x)=12；（Ⅱ）若数列{an}的通项公式为an=f(nm)(m∈N*，n=1，2，…，m)，求数列{an}的前m项和Sm；（Ⅲ）设数列{bn}满足：b1=13，bn+1=b2n+bn，设Tn=1b1+1+1b2+1+…+1bn+1，若（Ⅱ）中的Sm满足对任意不小于2的正整数n，Sm＜Tn恒成立，试求m的最大值 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）证明：∵f(x)=14x+2，∴f(1-x)=141-x+2=4x4+2•4x=4x2(4x+2)，∴f(x)+f(1-x)=14x+2+4x2(4x+2)=2+4x2(4x+2)=12．故答案为12．．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f(x)+f(1-x)=12，∴f(km)+f(1-km)=12(1≤k≤m-1)，即f(km)+f(m-km)=12．∴ak+am-k=12，am=f(mm)=f(1)=16，又Sm=a1+a2++am-1+am①Sm=am-1+am-2++a1+am②①+②得2Sm=(m-1)×12+2am=m2-16，∴答案为Sm=112(3m-1)；（Ⅲ）∵b1=13，bn+1=b2n+bn=bn(bn+1)③∴对任意n∈N*，bn＞0④1bn+1=1bn(bn+1)=1bn-1bn+1，∴1bn+1=1bn-1bn+1，∴Tn=(1b1-1b2)+(1b2-1b3)++(1bn-1bn+1)=1b1-1bn+1=3-1bn+1∵bn+1-bn=bn2＞0，∴bn+1＞bn．∴数列{bn}是单调递增数列．∴Tn关于n递增，∴当n≥2，且n∈N*时，Tn≥T2．∵b1=13，b2=13(13+1)=49，b3=49(49+1)=5281，∴Tn≥T2=3-1b3=7552．（14分）由题意Sm＜7552，即112(3m-1)＜7552，∴m＜23839=6439∴m的最大值为6．故答案为6．

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解析

14x+2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=14x+2(x∈R)．.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|