若集合具有以下性质：①②若，则，且时，.则称集合是“好集”.分别判断集合，有理数集Q是否是“好集”，并说明理由；设集合是“好集”

题文

（本小题满分13分）若集合具有以下性质：①②若，则，且时，.则称集合是“好集”.（Ⅰ）分别判断集合，有理数集Q是否是“好集”，并说明理由；（Ⅱ）设集合是“好集”，求证：若，则；（Ⅲ）对任意的一个“好集”A，分别判断下面命题的真假，并说明理由.命题：若，则必有；命题：若，且，则必有； 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）有理数集是“好集”.  （Ⅱ）. （Ⅲ）命题均为真命题.. 

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解析

(I)先假设集合是“好集”.因为，，所以这与矛盾.这样就确定集合不是“好集”.有理数Q也采用同样的方法,进行推证.(II)根据好集的定义是“好集”，则，然后再根据x,y的任意性，可证明.(III)本小题也是先假设p、q都是真命题，然后根据好集的定义进行推证..（Ⅰ）集合不是“好集”. 理由是：假设集合是“好集”. 因为，，所以. 这与矛盾.…………2分有理数集是“好集”. 因为，,对任意的，有，且时，.所以有理数集是“好集”.    ………………………………4分（Ⅱ）因为集合是“好集”，所以 .若，则，即.所以，即.          …………………………6分（Ⅲ）命题均为真命题. 理由如下：     ………………………………………7分对任意一个“好集”，任取， 若中有0或1时，显然.下设均不为0，1. 由定义可知：.所以，即.  所以 . 由（Ⅱ）可得：，即. 同理可得.若或，则显然.若且，则.所以 .   所以 .由（Ⅱ）可得：.所以 .综上可知，，即命题为真命题.若，且，则.所以 ，即命题为真命题.    ……………………………………13分  

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分13分）若集合具有以下性质：.....”主要考查你对 [集合的含义及表示 ]考点的理解。 集合的含义及表示

集合的概念：

1、集合：一般地我们把一些能够确定的不同对象的全体称为集合（简称集）； 集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……。      元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素，元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……2、元素与集合的关系：  （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 3、集合分类根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф（2）含有有限个元素的集合叫做有限集（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集

常用数集及其表示方法： 

（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+ （3）整数集：全体整数的集合.记作Z （4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q （5）实数集：全体实数的集合.记作R 

集合中元素的特性：

（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. 任何一个元素要么属于该集合，要么不属于该集合，二者必具其一。（2）互异性：集合中的元素一定是不同的. （3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.

易错点:（1）自然数集包括数0.         （2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z