已知f(x)=xlnx，g(x)=12x2

题文

已知f(x)=xlnx，g(x)=12x2-x+a（1）当a=2时，求函数y=g（x）在[0，3]上的值域（2）求函数f（x）在[t，t+2]上的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵已知f(x)=xlnx，g(x)=12x2-x+a，a=2∴g（x）=12x2-x+2，可得g′（x）=x-1，若x＞1，g′（x）＞0，g（x）为增函数；若x＜1，g′（x）＜0，g（x）为减函数；f（x）在x=1处取得极小值，也是最小值，f（x）min=f（1）=12-1+2=32；f（0）=2，f（3）=92-3+2=72，∴函数y=g（x）在[0，3]上的值域为[32，72]；（2）∵f′（x）=1+lnx（x＞0），令f′（x）=0，可得x=1e，若x＞1e时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；若0＜x＜1e时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；t＞0若0＜t≤1e时，因为区间长度为2，可以取到极小值点x=1e，也是最小值点，∴f（x）min=f（1e）=1eln1e=-1e；若t＞1e时，f（x）在[t，t+2]上为增函数，∴f（x）min=f（t）=tlnt；∴综上：若0＜t≤1e，f（x）min=1e；若t＞1e时，f（x）min=tlnt；

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知f(x)=xlnx，g(x)=12x.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax2+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-）上是减函数，在[-，＋∞）上是增函数； ②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-）上是增函数，在[-，＋∞）是减函数。

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二次函数（a，b，c是常数，a≠0）的图像： 图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)  值域a>0a<0  奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a0a<0 图像特点

 

二次函数的解析式：

（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为 ;（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为 ,则其解析式为 。

二次函数在闭区间上的最值的求法：

(1)二次函数 在区间[p,g]上的最值问题一般情况下，需要分三种情况讨论解决．当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令 ．① ② ③ ④特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．

(2)二次函数在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论： 特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。