对于函数f=ax2+bx+1，如果方程f=x有相异两根x1，x2．若x1＜1＜x2，且f的图象关于

题文

（第一、二层次学校的学生做）对于函数f（x）=ax2+bx+1（a＞0），如果方程f（x）=x有相异两根x1，x2．（1）若x1＜1＜x2，且f（x）的图象关于直线x=m对称．求证：m＞12；（2）若0＜x1＜2且|x1-x2|=2，求证：4a+2b＜1；（3）α、β为区间[x1，x2]上的两个不同的点，求证：2aαβ-（1-b）（a+β）+2＜0． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设g（x）=ax2+（b-1）x+1，且a＞0∵x1＜1＜x2，∴（x1-1）（x2-1）＜0，即x1x2＜x1+x2-1，于是x=m即x=-b2a，也就是x=12（-b-1a-1a）∴m=12（-b-1a-1a）=12（x1+x2）-12x1x2＞12（x1+x2）-12[（x1+x2）-1]=12即不等式m＞12成立；（2）由方程g（x）=ax2+（b-1）x+1=0，可得x1x2=-1a＞0，故x1、x2同号由0＜x1＜2且|x1-x2|=2，得x2-x1=2∴x2=x1+2＞2，由此可得2∈（x1，x2），得g（2）＜0，所以4a+2b-1＜0，可得4a+2b＜1；（3）由前面的结论，得x1+x2=-b+1a，x1x2=1aα、β为区间[x1，x2]上的两个不同的点，不妨设α＜β0＞2（α-x1）（β-x2）∵2（α-x1）（β-x2）=2αβ-2（βx1+αx2）+2x1x2=2αβ-（x1+x2）（α+β）+2x1x2+（x1-x2）（α-β）＞2αβ-（x1+x2）（α+β）+2x1x2且2αβ-（x1+x2）（α+β）+2x1x2=2aαβ-(1-b)(α-β)+2a∴0＞2aαβ-(1-b)(α-β)+2a，结合a＞0，可得2aαβ-（1-b）（a+β）+2＜0．

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解析

b2a

考点

据考高分专家说，试题“（第一、二层次学校的学生做）对于函数f（.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax2+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-）上是减函数，在[-，＋∞）上是增函数； ②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-）上是增函数，在[-，＋∞）是减函数。

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二次函数（a，b，c是常数，a≠0）的图像： 图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)  值域a>0a<0  奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a0a<0 图像特点

 

二次函数的解析式：

（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为 ;（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为 ,则其解析式为 。

二次函数在闭区间上的最值的求法：

(1)二次函数 在区间[p,g]上的最值问题一般情况下，需要分三种情况讨论解决．当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令 ．① ② ③ ④特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．

(2)二次函数在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论： 特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。