设函数f=ax2+bx+c同时满足下列条件：①f=1；②当x∈R时，恒有f≥x成立；③当x∈R时，恒有f=

题文

设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R且a≠0）同时满足下列条件：①f（1）=1；②当x∈R时，恒有f（x）≥x成立；③当x∈R时，恒有f（x-4）=f（2-x）成立．（1）求f（x）的表达式；（2）设g（x）=4f（x）-4x+2，试问g（x）是否存在这样的区间[a，b]（a＜b）同时满足下列条件：①g（x）在[a，b]上单调；②若g（x）的定义域是[a，b]，则其值域也是[a，b]．若存在，求出这样的区间[a，b]，若不存在，试说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因当x∈R时，恒有f（x）≥x成立，即ax2+（b-1）x+c≥0，∴△=（b-1）2-4ac≤0，且a＞0，①当x∈R时，恒有f（x-4）=f（2-x）成立，则函数f（x）=ax2+bx+c和图象的对称轴是x=-1，即-b2a=-1，∴b=2a，②又f（1）=1，∴a+b+c=1，③由①②③解得：a=14，b=12，c=14，∴f（x）的表达式为f（x）=14x2+12x+14．（2）g（x）=4f（x）-4x+2=x2-2x+3，假设存在这样的区间[a，b]（a＜b）同时满足下列条件：①g（x）在[a，b]上单调；②若g（x）的定义域是[a，b]，则其值域也是[a，b]．∵g（x）在[a，b]上单调，∴a≥1或b≤1．当a≥1时，g（x）在[a，b]上单调增，若g（x）的定义域是[a，b]，则值域为[a2-2a+3，b2-2b+3]，∴a2-2a+3=ab2-2b+3=b，此方程组无解；当b≤1时，g（x）在[a，b]上单调减，若g（x）的定义域是[a，b]，则值域为[b2-2b+3，a2-2a+3]，∴a2-2a+3=bb2-2b+3=a，此方程组无解；综上可知，不存在这样的区间[a，b]（a＜b）同时满足条件．

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解析

b2a

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax2+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-）上是减函数，在[-，＋∞）上是增函数； ②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-）上是增函数，在[-，＋∞）是减函数。

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二次函数（a，b，c是常数，a≠0）的图像： 图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)  值域a>0a<0  奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a0a<0 图像特点

 

二次函数的解析式：

（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为 ;（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为 ,则其解析式为 。

二次函数在闭区间上的最值的求法：

(1)二次函数 在区间[p,g]上的最值问题一般情况下，需要分三种情况讨论解决．当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令 ．① ② ③ ④特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．

(2)二次函数在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论： 特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。