抛物线方程为y2=p，直线x+y=m与x轴的交点在抛物线的准线的右边．求证：直线与抛物线总有两个交点；设直线与抛物线的交点为Q、

题文

抛物线方程为y2=p（x+1）（p＞0），直线x+y=m与x轴的交点在抛物线的准线的右边．（1）求证：直线与抛物线总有两个交点；（2）设直线与抛物线的交点为Q、R，OQ⊥OR，求p关于m的函数f（m）的表达式；（3）在（2）的条件下，若m变化，使得原点O到直线QR的距离不大于22，求p的值的范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵抛物线y2=p（x+1）的准线方程是x=-1-p4∵直线x+y=m与x轴的交点为（m，0）在准线右边∴m＞-1-p4∴m＞-1-p4，即4m+p+4＞0．由y2=p(x+1)x+y=m得x2-（2m+p）x+（m2-p）=0．而判别式△=（2m+p）2-4（m2-p）=p（4m+p+4）．又p＞0及4m+p+4＞0，可知△＞0．因此，直线与抛物线总有两个交点；                   …（4分）（2）设Q、R两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），由（1）知，x1、x2是方程x2-（2m+p）x+m2-p=0的两根，∴x1+x2=2m+p，x1•x2=m2-p．由OQ⊥OR，得kOQ•kOR=-1，即有x1x2+y1y2=0．又Q、R为直线x+y=m上的点，因而y1=-x1+m，y2=-x2+m．于是x1x2+y1y2=2x1x2-m（x1+x2）+m2=2（m2-p）-m（2m+p）+m2=0，∴p=f（m）=m2m+2，由p＞04m+4+p＞0得m＞-2，m≠0；…（9分）（3）解法一：由于原点O到直线x+y=m的距离不大于22，于是|0+0-m|2≤22，∴|m|≤1．由（2），知m＞-2且m≠0故m∈[-1，0）∪（0，1]．由（2），知f（m）=m2m+2=（m+2）+4m+2-4qqqq1q当m∈[-1，0）时，任取m1、m2，0＞m1＞m2≥-1，则f（m1）-f（m2）=（m1-m2）+（4m1+2-4m2+2）=（m1-m2）[1-4(m1+2)(m2+2)]．由0＞m1＞m2≥-1，知0＜（m1+2）（m2+2）＜4，1-4(m1+2)(m2+2)＜0．又由m1-m2＞0知f（m1）＜f（m2）因而f（m）为减函数．可见，当m∈[-1，0）时，p∈（0，1]．同样可证，当m∈（0，1]时，f（m）为增函数，从而p∈（0，13]．解法二：由解法一知，m∈[-1，0）∪（0，1]．由（2）知p=f（m）=m2m+2=11m+2m2．设t=1m，g（t）=t+2t2，则t∈（-∞，-1]∪[1，+∞），又g（t）=2t2+t=2（t+14）2-18．∴当t∈（-∞，-1]时，g（t）为减函数，g（t）∈[1，+∞）．当t∈[1，+∞）时，g（t）为增函数，g（t）∈[3，+∞）．因此，当m∈[-1，0]时，t∈（-∞，-1]，p=1g(t)∈（0，1]；当m∈（0，1]时，t∈[1，+∞），p∈（0，13]．

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解析

p4

考点

据考高分专家说，试题“抛物线方程为y2=p（x+1）（p＞0）.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax2+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-）上是减函数，在[-，＋∞）上是增函数； ②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-）上是增函数，在[-，＋∞）是减函数。

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二次函数（a，b，c是常数，a≠0）的图像： 图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)  值域a>0a<0  奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a0a<0 图像特点

 

二次函数的解析式：

（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为 ;（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为 ,则其解析式为 。

二次函数在闭区间上的最值的求法：

(1)二次函数 在区间[p,g]上的最值问题一般情况下，需要分三种情况讨论解决．当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令 ．① ② ③ ④特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．

(2)二次函数在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论： 特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。