定义在上的函数，当时，，且对任意的 ,有，求证：；求证：对任意的，恒有；若，求的取值范围.

题文

定义在上的函数，当时，，且对任意的 ,有，（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：对任意的，恒有；（Ⅲ）若，求的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）.

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解析

（Ⅰ）令即可得证；（Ⅱ）令得，，由已知x>0时，f(x)>1>0，当x0，f(-x)>0，故对任意x∈R，f(x)>0；（Ⅲ）先证明为增函数：任取x2>x1，则，，故，故其为增函数；然后利用单调性脱解一元二次不等式.试题解析：（Ⅰ）令，则f(0)=[f(0)]2  ∵ f(0)≠0 ∴ f(0)=1  2分（Ⅱ）令则 f(0)=f(x)f(-x)∴  4分由已知x>0时，f(x)>1>0，当x0，f(-x)>0 ∴，又x=0时，f(0)=1>0       6分∴对任意x∈R，f(x)>0               7分(Ⅲ)任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0  8分∴∴f(x2)>f(x1) ∴ f(x)在R上是增函数       10分f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)，f(x)在R上递增∴由f(3x-x2)>f(0)得：x-x2>0 ∴ 0 考点

据考高分专家说，试题“定义在上的函数，当时，，且对任意的 ,有.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的； 分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。  抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数； 一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。 2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。 3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。