已知函数求函数的极值；对于曲线上的不同两点，，如果存在曲线上的点，且，使得曲线在点处的切线∥，则称为弦的伴随切线。特别地，当时，又称为的λ－伴随切线

题文

已知函数（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）对于曲线上的不同两点，，如果存在曲线上的点，且，使得曲线在点处的切线∥，则称为弦的伴随切线。特别地，当时，又称为的λ－伴随切线。（ⅰ）求证：曲线的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的；（ⅱ）是否存在曲线C，使得曲线C的任意一条弦均有伴随切线？若存在，给出一条这样的曲线 ，并证明你的结论； 若不存在 ，说明理由。 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）  ……………………………………    2分当，，函数在内是增函数，∴函数没有极值。       ………………………………    3分当时，令，得。当变化时，与变化情况如下表：＋0－单调递增极大值单调递减∴当时，取得极大值。综上，当时，没有极值；当时，的极大值为，没有极小值。          ……………5分（Ⅱ）（ⅰ）设是曲线上的任意两点，要证明有伴随切线，只需证明存在点，使得，且点不在上。     ……………………7分∵，即证存在，使得，即成立，且点不在上。   …………………8分以下证明方程在内有解。记，则。令，∴，∴在内是减函数，∴。取，则，即。……9分同理可证。∴。∴函数在内有零点。即方程在内有解。………………10分又对于函数取，则可知，即点Q不在上。是增函数，∴的零点是唯一的，即方程在内有唯一解。综上，曲线上任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的。……   11分（ⅱ）取曲线C：，则曲线的任意一条弦均有伴随切线。证明如下：设是曲线C上任意两点，则，又，即曲线C：的任意一条弦均有伴随切线。

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解析

＋0－单调递增极大值单调递减

考点

据考高分专家说，试题“已知函数（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）对于曲.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的； 分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。  抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数； 一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。 2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。 3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。