已知f(x)是实数集R上的函数，且对任意xR,f(x)=f(x+1)+f(x

题文

已知f(x)是实数集R上的函数，且对任意xR,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立. (1)求证：f(x)是周期函数. (2)已知f(3)=2，求f(2 004). 题型：未知 难度：其他题型

答案

  （1）证明见解析（2）-2

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解析

（1）证明 ∵f(x)=f(x+1)+f(x-1),∴f(x+1)=f(x)-f(x-1),则f(x+2)=f∴f(x+3)=f∴f(x+6)=f∴f(x)是周期函数且6是它的一个周期.(2)解  f(2 004)=f(334×6)=f(0)=-f(3)=-2.

考点

据考高分专家说，试题“已知f(x)是实数集R上的函数，且对任意.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的； 分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。  抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数； 一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。 2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。 3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。