已知f=f+f，且f=2，则f+f+…+f不能等于A．f+2f+3f+…+nfB．

题文

已知f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）=2，则f（1）+f（2）+…+f（n）不能等于（ ）A．f（1）+2f（1）+3f（1）+…+nf（1）B．f[n(n+1)2]C．n（n+1）D．n（n+1）f（1） 题型：未知 难度：其他题型

答案

令x=n，y=1，得f（n+1）=f（n）+f（1）=f（n）+2，∴f（n+1）-f（n）=2，可得{f（n）}构成以f（1）=2为首项，公差为2的等差数列，∴f（n）=2+（n-1）×2=2n，因此，f（1）+f（2）+…+f（n）=n[f(1)+f(n)]2=n(2+2n)2=n（n+1）对于A，由于f（1）+2f（1）+3f（1）+…+nf（1）=f（1）（1+2+…+n）=2×n(n+1)2=n（n+1），故A正确；对于B，由于f（n）=2n，所以f[n(n+1)2]=2×n(n+1)2=n（n+1），得B正确；对于C，与求出的前n项和的通项一模一样，故C正确．对于D，由于n（n+1）f（1）=2n（n+1），故D不正确．故选：D

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解析

n[f(1)+f(n)]2

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x+y）=f（x）+f（y），且.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的； 分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。  抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数； 一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。 2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。 3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。