设函数f对于任意x，y∈R，都有f=f+f，且x＞0时f＜0，f=

题文

设函数f（x）对于任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时f（x）＜0，f（1）=-2．（1）求f（0）；（2）证明f（x）是奇函数；（3）试问在x∈[-3，3]时f（x）是否有最大、最小值？如果有，请求出来，如果没有，说明理由；（4）解不等式12f(x2)-f(x)＞12f(3x)． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（1）由f（x+y）=f（x）+f（y），得f[x+（-x）]=f（x）+f（-x），∴f（x）+f（-x）=f（0）．又f（0+0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0．（2）从而有f（x）+f（-x）=0．∴f（-x）=-f（x）．∴f（x）是奇函数．（3）任取x1、x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=f（x1）-f[x1+（x2-x1）]=f（x1）-[f（x1）+f（x2-x1）]=-f（x2-x1）．由x1＜x2，∴x2-x1＞0．∴f（x2-x1）＜0．∴-f（x2-x1）＞0，即f（x1）＞f（x2），从而f（x）在R上是减函数．由于f（x）在R上是减函数，故f（x）在[-3，3]上的最大值是f（-3），最小值为f（3）．由f（1）=-2，得f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=f（1）+f（1+1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）=3×（-2）=-6，f（-3）=-f（3）=6．∴最大值为6，最小值为-6．（4）由12f(x2)-f(x)＞12f(3x)，f（x2）-f（3x）＞2f（x），由已知得：f[2（x）]=2f（x）∴f（x2-3x）＞f（2x），由（2）中的单调性转化为x2-3x＜2x．即x2-5x＜0，∴x∈（0，5）．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）对于任意x，y∈R，都有f.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的； 分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。  抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数； 一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。 2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。 3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。