若定义在R上的函数对任意的x1，x2∈R，都有f=f+f

题文

若定义在R上的函数对任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-1成立，且当x＞0时，f（x）＞1，若f（4）=5，则不等式f（3m-2）＜3的解集为______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由题意，可得令x1=x2=0，则f（0+0）=f（0）+f（0）-1，可得f（0）=1，令x1=-x，x2=x，则f[（-x）+x]=f（-x）+f（x）-1=1，∴化简得：[f（x）-1]+[f（-x）-1]=0，∴记F（x）=f（x）-1，可得F（-x）=-F（x），即F（x）为奇函数．任取x1，x2∈R，且x1＞x2，则x1-x2＞0，F（x1）-F（x2）=F（x1）+F（-x2）=[f（x1）-1]+[f（-x2）-1]=[f（x1）+f（-x2）-2]=[f（x1-x2）-1]=F（x1-x2）∵当x＞0时f（x）＞1，可得x＞0时，F（x）=f（x）-1＞0，∴由x1-x2＞0，得F（x1-x2）＞0，即F（x1）＞F（x2）．∴F（x）=f（x）-1是R上的增函数，因此函数y=f（x）也是R上的增函数．∵f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-1，且f（4）=5，∴f（4）=f（2）+f（2）-1=5，可得f（2）=3．因此，不等式f（3m-2）＜3化为f（3m-2）＜f（2），可得3m-2＜2，解之得m＜43，即原不等式的解集为（-∞，43）．

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解析

43

考点

据考高分专家说，试题“若定义在R上的函数对任意的x1，x2∈R.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的； 分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。  抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数； 一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。 2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。 3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。