设定义域为R的函数f满足：对于任意的实数x，y都有f=f+f成立，且当x＞0时，f＜0恒成立．判断f的奇偶性及单调

题文

设定义域为R的函数f（x）满足：对于任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且当x＞0时，f（x）＜0恒成立．（1）判断f（x）的奇偶性及单调性，并对f（x）的奇偶性结论给出证明；（2）若函数f（x）在[-3，3]上总有f（x）≤6成立，试确定f（1）应满足的条件；（3）解x的不等式1nf(x2)-f(x)＞1nf(ax)-f(a)（n是一个给定的正整数，a∈R）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f（x）为奇函数，证明如下：∵对于任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，∴令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0），即f（0）=0，再令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（0）=0，即f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数；f（x）为R上的减函数，证明如下：设x1＞x2，则f（x1）-f（x2）=f（x1-x2），∵当x＞0时，f（x）＜0恒成立，且x1-x2＞0，∴f（x1-x2）＜0，即f（x1）-f（x2）＜0，∴f（x）在R上为单调递减函数；（2）由（1）可知，f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，∴f（x）在[-3，3]上的最大值为f（-3），要使f（x）≤6恒成立，当且仅当f（-3）≤6，又∵f（-3）=-f（3）=-f（2+1）=-[f（2）+f（1）]=-[f（1）+f（1）+f（1）]=-3f（1），∴f（1）≥-2，又x＞1时，f（x）＜0，∴f（1）∈[-2，0）；（3）不等式1nf(x2)-f(x)＞1nf(ax)-f(a)，∴f（x2）-f（ax）＞n[f（x）-f（a）]，∵f（x+y）=f（x）+f（y），∴f（x2-ax）＞nf（x-a），由已知可得，f[n（x-a）]=nf（x-a），∴f（x2-ax）＞f[n（x-a）]，∵f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，∴x2-ax＜n（x-a），即（x-a）（x-n）＜0，①当a＜n时，不等式的解集为{x|a＜x＜n}；②当a=n时，不等式的解集∅；③当a＞n时，不等式的解集为{x|n＜x＜a}．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“设定义域为R的函数f（x）满足：对于任意.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的； 分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。  抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数； 一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。 2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。 3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。