已知定义域是的函数f满足；对任意x∈，恒有f=3f成立；当x∈=3

题文

已知定义域是（0，+∞）的函数f（x）满足；（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立；（2）当x∈（1，3]时，f（x）=3-x．给出下列结论：①对任意m∈Z，有f（3m）=0；②函数f（x）的值域为[0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（3n+1）=0；④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“∃k∈Z，使得（a，b）⊆（3k，3k+1）．”其中正确结论的序号是______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

①∵对任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立，当x∈（1，3]时，f（x）=3-x．∴f（3m）=f（3•3m-1）=3f（3m-1）=…=3m-1f（3）=0，故①正确；②取x∈（3m，3m+1]，则x3m∈（1，3]，f（x3m）=3-x3m，f（x3）=…=3mf（x3m）=3m+1-x，从而函数f（x）的值域为[0，+∞）；即②正确；=3m+1-x，从而f（x）∈[0，+∞），故②正确；③∵x∈（1，3]时，f（x）=3-x，对任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立，n∈Z，∴f（3n+1）=3nf（1+13n）=3n[3-（1+13n）]=3n（2-13n）≠0，故③错误；④令3k≤a＜b≤3k+1，则1≤a3k＜b3k≤3，∴f（a）-f（b）=f（3k•a3k）-f（3k•b3k）=3k[f（a3k）-f（b3k）]=3k[（3-a3k）-（3-b3k）]=3k（b3k-a3k）=b-a＞0，∴函数f（x）在区间（a，b））⊆（3k，3k+1）上单调递减，故④正确；综上所述，正确结论的序号是①②④．故答案为：①②④．

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解析

x3m

考点

据考高分专家说，试题“已知定义域是（0，+∞）的函数f（x）满.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的； 分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。  抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数； 一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。 2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。 3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。