已知函数f在定义域上单调递增，且满足f=f+f．证明：f(xy)=f(x)

题文

已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，且满足f（xy）=f（x）+f（y）．（1）证明：f(xy)=f(x)-f(y)；（2）已知f（3）=1，且f（a）＞f（a-1）+2，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵对一切x，y＞0满足f（x）+f（y）=f（x•y），∴f(xy)+f(y)=f(xy×y)=f(x)因此，满足 f(xy)=f(x)-f(y)，（2）∵f（3）=1，∴2=f（3）+f（3）=f（9）；∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，∴f（a）＞f（a-1）+2，⇔

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解析

xy

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的； 分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。  抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数； 一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。 2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。 3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。