设f是定义在R上的函数，对任意x，y∈R有f=f+f

题文

设f（x）是定义在R上的函数，对任意x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，当x＞0时，f（x）＞1，且f（3）=4；（1）求f（1），f（4）的值；（2）判断并证明f（x）的单调性；（3）若关于x的不等式f（|x|x+a2x+a）＜f（f（4）•x）的解集中最大的整数为2，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意可得f（3）=f（2）+f（1）-1=4，f（2）=2f（1）-1∴3f（1）-2=4，即f（1）=2，f（2）=3，f（3）=4，f（4）=2f（2）-1=5（2）由（1）可得函数为单调递增的函数证明如下：设a＞0，则x+a＞x∵由题意可得，当x＞0时，f（x）＞1∴f（a）＞1由已知可得，f（x+a）-f（x）=f（x）+f（a）-f（x）-1=f（a）-1＞0∴f（x+a）＞f（x）由函数的单调性的定义可知函数单调递增（3）∵f（|x|x+a2x+a）＜f（f（4）•x）由（2）中函数单调递增且f（4）=5可得|x|x+a2x+a＜5x当x＞0可得，x2+（a2-5）x+a＜0的解集中的最大整数为2令g（x）=x2+（a2-5）x+a，则g(3)≥0g(2)≤0即3a2+a-6≥02a2+a-6≤0解可得-1+736≤a≤1当x＜0时，x2+（5-a2）x-a＞0的解集中的最大整数为2，此时不符合题意

点击查看分段函数与抽象函数知识点讲解,巩固学习

解析

g(3)≥0g(2)≤0

考点

据考高分专家说，试题“设f（x）是定义在R上的函数，对任意x，.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的； 分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。  抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数； 一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。 2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。 3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。