已知f定义域为R，满足：①f=1＞f；②对任意实数x，y，有f=ff+ff．求f，

题文

已知f（x）定义域为R，满足：①f（1）=1＞f（-1）；②对任意实数x，y，有f（y-x+1）=f（x）f（y）+f（x-1）f（y-1）．（Ⅰ）求f（0），f（3）的值；（Ⅱ）判断函数的奇偶性与周期性，并求f2（3x）+f2（3x-1）的值；（Ⅲ）是否存在常数A，B，使得不等式|f（x）+f（2-x）+Ax+B|≤2对一切实数x成立．如果存在，求出常数A，B的值；如果不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵f（y-x+1）=f（x）f（y）+f（x-1）f（y-1），∴令x=y=1，得f（1-1+1）=f（1）f（1）+f（0）f（0），即f（1）=f2（1）+f2（0），∵f（1）=1，∴f（0）=0，令x=y=0得，f（1）=f2（0）+f2（-1），∵f（1）=1＞f（-1），∴f（-1）=-1，令x=0、y=2得，f（3）=f（0）f（2）+f（-1）f（1），∴f（3）=-f（1）=-1，（Ⅱ）对f（y-x+1）=f（x）f（y）+f（x-1）f（y-1），令y=0，得f（-x+1）=f（x）f（0）+f（x-1）f（-1）由（1）得，f（-1）=-1，f（0）=0，∴f（-x+1）=-f（x-1），令x=x+1，即f（-x）=-f（x），∴函数为奇函数，令x=-x-1，代入f（-x+1）=-f（x-1），得f（-x+2）=-f（-x）=f（x），即f（2-x）=f（x），∴-f（x-2）=f（x），令x=x+2代入得f（x+2）=-f（x），令x=x+2代入得f（x+4）=f（x），∴函数的周期是4，令x=y代入f（y-x+1）=f（x）f（y）+f（x-1）f（y-1），得f2（x）+f2（x-1）=1，令x=3x代入得，∴f2（3x）+f2（3x-1）=1，（Ⅲ）假设存在常数A，B满足题意，由（II）得，f（2-x）=f（x），∴|f（x）+f（2-x）+Ax+B|≤2为：|2f（x）+Ax+B|≤2，令x=-1得，-2≤-2-A+B≤2，即-2≤2+A-B≤2    ①令x=1得，-2≤2+A+B≤2      ②令x=3得，-2≤-2+3A+B≤2，即-2≤2-3A-B≤2   ③①+②得，-4≤A≤0；②+③得，0≤A≤4，则A=0，将A=0代入①得0≤B≤4；代入②得-4≤B≤0，则B=0，由（II）得，f2（x）+f2（x-1）=1，∴当A=B=0时，|2f（x）+Ax+B|≤2对一切实数x成立，∴存在唯一一组常数A=B=0，使得不等式|f（x）+f（2-x）+Ax+B|≤2对一切实数x成立．

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解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）定义域为R，满足：①f（1）.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的； 分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。  抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数； 一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。 2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。 3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。