已知函数f对任意实数x，y均有f+f=2f(x+y2)f(x

题文

已知函数f（x）对任意实数x，y均有f（x）+f（y）=2f(x+y2)f(x-y2)，f（0）≠0，且存在非零常数c，使f（c）=0．（1）求f（0）的值；（2）判断f（x）的奇偶性并证明；（3）求证f（x）是周期函数，并求出f（x）的一个周期． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵任意x，y∈R均有f（x）+f（y）=2f(x+y2)f(x-y2)，令x=y=0，∴2f（0）=2f（0）•f（0），∵f（0）≠0，∴f（0）=1．（2）令y=-x，可得f（x）+f（-x）=2f（0）f（x），有f（-x）=f（x），则f（x）为偶函数、（3）∵f（2c+x）+f（x）=2f(2c+2x2)•f(2c2)，∵f（c）=0，∴f（2c+x）+f（x）=0，即f（2c+x）=-f（x），∴f（x）=-f（2c+x）=-[-f（2c+（2c+x））]=f（4c+x），∴f（x）的周期为4c．

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解析

x+y2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）对任意实数x，y均有f（.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的； 分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。  抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数； 一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。 2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。 3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。