定义在上的函数f满足：①f=1，②对任意实数b，f=bf．求f，f，f，及满足f（k

题文

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①f（10）=1，②对任意实数b，f（xb）=bf（x）．（1）求f（1），f（12），f（14），及满足f（k-1002）=lg1002的k值；（2）证明对任意x，y∈（0，+∞），f（xy）=f（x）+f（y）．（3）证明f（x）是（0，+∞）上的增函数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵对任意实数b，f（xb）=bf（x），f（10）=1，∴f（1）=f（100）=0×1=0，f（12）=f（10lg12）=lg12×1=lg12f（14）=f[（12）2]=2f（12）=2lg12．因为f（k-1002）=f（10lg（k-1002））=lg（k-1002）=lg1002∴k=2004．（2）设x，y∈（0，+∞），当x≠1时，f（xy）=f（x•xlogxy）=x1+logxy=（1+logxy）f（x）=f（x）+logxy•f（x）=f（x）+f（xlogxy）=f（x）+f（y）．当x=1时，因为f（1）=0也适合，故对任意x，y∈（0，+∞），f（xy）=f（x）+f（y）．（3）因为x＞1时，f（x）=f（10lgx）=lgx•f（x）=lgx＞0，设0＜x1＜x2，则x2x1＞1，所以f（x2x1）＞0．由（2）知f（x2）=f（x2x1•x1）=f（x2x1）+f（x1）＞f（x1），所以f（x）是（0，+∞）上的增函数

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的； 分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。  抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数； 一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。 2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。 3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。