各项为正数的数列{an} 的前n项和为Sn，且满足：Sn=14an2+12an+14求an；设函数f=an(n为奇数)f(n2)，

题文

各项为正数的数列{an} 的前n项和为Sn，且满足：Sn=14an2+12an+14（n∈N*）（1）求an；（2）设函数f（n）=an(n为奇数)f(n2)，(n为偶数)，cn=f（2n+4（n∈N*），求数列{cn} 的前n项和Tn；（3）设λ为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m、n、k，不等式Sm+Sn＞λSk恒成立，求实数λ的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由Sn=14an2+12an+14（n∈N*）…①得n≥2时，Sn-1=14an-12+12an-1+14（n∈N*）…②①-②化简可得，（an+an-1）（an-an-1-2）=0又an＞0，所以当n≥2时，an-an-1=2∴数列{an} 成等差数列，公差为2又a1=S1=14a21 +12a1+14则a1=1∴an=2n-1（2）由f（n）=an(n为奇数)f(n2)，(n为偶数)，可得c1=f（6）=f（3）=a3=5c2=f（8）=f（4）=f（2）=f（1）=a1=1当n≥3时cn=f（2n+4）=f（2n-1+2）=f（2n-2+1）=2（2n-1+1）-1=2n-1+1故当n≥3时Tn=2n+n∴Tn=5        (n=1)2n+n  (n≥2)  （3）Sm+Sn＞λSk⇒m2d2+n2d2＞c•k2d2⇒m2+n2＞λ•k2，λ＜m2+n2k2恒成立．又m+n=3k且m≠n，2(m2+n2)＞(m+n)2=9k2⇒m2+n2k2＞92，故λ≤92，即λ的最大值为 92．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“各项为正数的数列{an} 的前n项和为S.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的； 分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。  抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数； 一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。 2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。 3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。