已知f为R上的偶函数，对任意x∈R都有f=f+f且当x1，x2∈[0，3]，x1≠x2时，有f(x1)

题文

已知f（x）为R上的偶函数，对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）且当x1，x2∈[0，3]，x1≠x2时，有f(x1)-f(x2)x1-x2＞0成立，给出四个命题：①f（3）=0； ②直线x=-6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[-9，-6]上为增函数；   ④函数y=f（x）在[-9，9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

①令x=-3，则由f（x+6）=f（x）+f（3）得f（3）=f（-3）+f（3）=2f（3），故f（3）=0．①正确；②由f（3）=0，f（x）为偶函数得：f（-6-x）=f（x），故直线x=-6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，②正确；③因为当x1，x2∈[0，3]，x1≠x2时，有f(x1)-f(x2)x1-x2＞0成立，故f（x）在[0，3]上为增函数，又f（x）为偶函数，故在[-3，0]上为减函数，又周期为6．故在[-9，-6]上为减函数，③错误；④函数f（x）周期为6，故f（-9）=f（-3）=f（3）=f（9）=0，故y=f（x）在[-9，9]上有四个零点，④正确．故答案为：①②④．

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解析

f(x1)-f(x2)x1-x2

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）为R上的偶函数，对任意x∈R.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的； 分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。  抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数； 一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。 2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。 3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。