若实数x、y、m满足

题文

若实数x、y、m满足|x-m|＞|y-m|，则称x比y远离m．（1）若x2-1比1远离0，求x的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离2abab；（3）已知函数f（x）的定义域D={{x|x≠kπ2+π4，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中远离0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）根据定义可得：|x2-1|＞1∴x2-1＞1或x2-1＜-1解得x∈(-∞，-2)∪(2．+∞)（2）证明：欲证明a3+b3比a2b+ab2远离2abab即证|a3+b3-2abab|＞|a2b+ab2-2abab|，又任意两个不相等的正数a、b即证|b2a+a2b-2ab​|＞|a+b-2ab​|由于a+b≥2ab​，b2a+a2b-(a+b)=(a+b)(a2+b2-2ab)ab＞0∴b2a+a2b＞a+b＞2ab即证|b2a+a2b-2ab​|＞|a+b-2ab​|成立∴|a3+b3-2abab|＞|a2b+ab2-2abab|（3）由题意知f(x)=sinx，x∈(kπ+π4，kπ+3π4)cosx，x∈(kπ-π4，kπ+π4)性质：①函数是偶函数；②周期T=π2③在区间[kπ2+π4，kπ2+π2]k∈z是增函数，在[kπ2-π4，kπ2+π4]k∈z是减函数④最大值为1，最小值为22⑤定义域D={{x|x≠kπ2+π4，k∈Z，x∈R}

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解析

2

考点

据考高分专家说，试题“若实数x、y、m满足|x-m|＞|y-m.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的； 分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。  抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数； 一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。 2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。 3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。