已知函数f对任意实数x，y都有f=f+f+3xy+k+3，k为常数，且f=1，f=17．若

题文

已知函数f（t）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+3xy（x+y+2）+k（x+y）+3，k为常数，且f（1）=1，f（2）=17．（1）若t为正整数，求f（t）的解析式（已知公式：12+22+32+…+n2=16n(n+1)(2n+1)；（2）求满足f（t）=t的所有正整数t；（3）若t为正整数，且t≥4时，f（t）≥mt2+（4m+1）+3m恒成立，求实数m的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令x=y=1，f（2）=f（1）+f（1）+12+2k+3⇒k=0，则f（x+y）=f（x）+f（y）+3xy（x+y+2）+3对于x，y∈R都成立令x=t（t∈N*），y=1f（t+1）=f（t）+f（1）+3t（t+3）+3⇒f（t+1）-f（t）=3t2+9t+4⇒f（2）-f（1）=3×12+9×1+4f（3）-f（2）=3×22+9×2+4…f（t）=f（t-1）=3（t-1）2+9×（t-1）+4用叠加法 f（t）-f（1）=3[12+22+…+（t-1）2]+9[1+2+…+（t-1）]+4+4•k…+4=3•16(t-1)•t•(2t-1)+9•12(t-1)•t+4(t-1)=t3+3t2-4∴f（t）=t3+3t2-3（t≥2）又t=1适合上式f（t）=t3+3t2-3（t≥2）（t∈N*）（2）若t∈N*，则t3+3t2-3=t⇒t3-t+3（t2+1）=0⇒（t-1）（t+1）（t+3）=0⇒t1=1，t2=-1，t3=-3（舍）又令x=y=0f（0）=-3令y=-x-3=f（x）+f（-x）+（-6x2）+3⇒f（x）+f（-x）=6x2-6对x∈R都成立若t为负整数，则f（t）=6t2-6-f（-t）=6t2-6+t3-3t2+3=t3+3t2-3由t3+3t2-3=t（t+3）（t+1）（t-1）⇒t1=-3，t2=-1，t3=1（舍）若t=0，则f（t）═t无解   综上，满足f（t）=t，所有整数t为1，-1，-3；（3）要使不等式恒成立，则只需m≤t3+3t2-t-3t2+4t+3对t≥4，且t∈N*恒成立即m≤(t+3)(t+1)(t-1)(t+3)(t+1)=t-1对t≥4，且t∈N*恒成立即且m≤（t-1）min=3实数m最大值为3

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（t）对任意实数x，y都有f（.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的； 分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。  抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数； 一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。 2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。 3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。