已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an

题文

已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an-1an (n∈N+)（1）证明{1an-1}为等差数列，并求an；（2）若cn=(an-1)•(87)n，求数列{cn}中的最小值．（3）设f(n)=nan+4     n为奇数3an-1+2  n为偶数（n∈N+），是否存在m∈N+使得f（m+15）=5f（m）成立？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意可得：an+1-1=2an-1an-1=an-1an，所以 1an+1-1=anan-1=1+1an-1…（2分）所以 {1an-1}是首项为1a1-1=1，公差为1的等差数列，并且 1an-1=1+(n-1)×1=n，所以可得：an=1+1n…（4分）（2）由（1）可得：cn=1n×(87)n，根据题意设{cn}中最小者为cm所以有 cm≤cm+1cm≤cm-1，即 1m×(87)m≤1m+1×(87)m+11m×(87)m≤1m-1×(87)m-1…（6分）解得 m≥7m≤8…（8分）所以{cn}中最小值为c7=c8=8778…（9分）（3）由已知得f(n)=n+53n+2n为奇数n为偶数…（10分）①当m为奇数时，m+15为偶数，则 有f（m+15）=5f（m），所以由题意可知：3（m+15）+2=5（m+5），解得 m=11…（12分）②当m为偶数时，m+15为奇数，则 有（m+15）+5=5（3m+2），所以解得m=57（舍去），故存在m=11使得等式成立…（13分）

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解析

2an-1an

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=2，an+1=.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的； 分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。  抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数； 一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。 2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。 3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。