对于定义域为D的函数y=f，如果存在区间[m，n]D，同时满足： ①f在[m，n]内是单调函数； ②当定义域是[m，n]时，f的值

题文

对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]D，同时满足： ①f（x）在[m，n]内是单调函数； ②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．（1）求证：函数不存在“和谐区间”．（2）已知：函数（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n﹣m的最大值．（3）易知，函数y=x是以任一区间[m，n]为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”．（不需证明，但不能用本题已讨论过的y=x及形如的函数为例） 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）设[m，n]是已知函数定义域的子集． ∵x≠0，∴[m，n]（﹣∞，0）或[m，n]（0，+∞） 故函数在[m，n]上单调递增．若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则故m、n是方程的同号的相异实数根．∵x2﹣3x+5=0无实数根，∴函数不存在“和谐区间”．（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集．∵x≠0，∴[m，n]（﹣∞，0）或[m，n]（0，+∞）若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则故m、n是方程，即a2x﹣（a2+a）x+1=0的同号的相异实数根．∵，∴m，n同号，只须△=a2（a+3）（a﹣1）＞0，即a＞1或a＜﹣3时，已知函数有“和谐区间”[m，n]，∵，∴当a=3时，n﹣m取最大值（3）如：y=﹣x+2和谐区间为、[0，2，]，[﹣1，3，]，当a+b=2的区间[a，b]；和谐区间为[0，，1]，和谐区间为[﹣1，0，]

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“对于定义域为D的函数y=f（.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的； 分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。  抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数； 一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。 2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。 3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。