已知函数f(x)=ax2+2bx+1(a，b为实数)，x∈R，F(x)=，(Ⅰ)若f(

题文

已知函数f(x)=ax2+2bx+1(a，b为实数)，x∈R，F(x)=，(Ⅰ)若f(-1)=0，且函数f(x)的值域为[0，+∞)，求F(x)的表达式；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，当x∈[-2，2]时，g(x)=f(x)-kx是单调函数，求实数k的取值范围；(Ⅲ)设m·n＜0，m+n＞0，a＞0且f(x)为偶函数，判断F(m)+F(n)能否大于零？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：(Ⅰ)∵f(-1)=0，∴a-2b+1=0，又x∈R，f(x)≥0恒成立，∴，∴b2-(2b-1)≤0，b=1，a=1， ∴f(x)=x2+2x+1=(x+1)2，∴。(Ⅱ)g(x)=f(x)-kx=x2+2x+1-kx=x2+(2-k)x+1，当或，即k≥6或k≤-2时，g(x)是单调函数． (Ⅲ)∵f(x)是偶函数，∴f(x)=ax2+1，，∵m·n＜0，设m＞n，则n＜0，又m+n＞0，m＞-n＞0，∴|m|＞|-n|，F(m)+F(n)=f(m)-f(n)=(am2+1)-an2-1=a(m2-n2)＞0，∴F(m)+F(n)能大于零．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=ax2+2.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的； 分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。  抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数； 一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。 2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。 3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。