已知函数f1(x)=3

题文

已知函数f1(x)=3|x-p1|，f2(x)=2·3|x-p2|（x∈R，p1，p2为常数），函数f(x)定义为：对每个给定的实数x，，(Ⅰ)求f(x)=f1(x)对所有实数x成立的充分必要条件（用p1，p2表示）；(Ⅱ)设a，b是两个实数，满足a＜b，且p1，p2∈(a，b)．若f(a)=f(b)，求证：函数f(x)在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为（闭区间[m，n]的长度定义为n-m）。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：(Ⅰ)由f(x)的定义可知，f(x)=f1(x)（对所有实数x）等价于f1(x)≤f2(x)（对所有实数x），这又等价于3|x-p1|≤2·3|x-p2|，即3|x-p1|-|x-p2|≤2对所有实数x均成立，（*）易知函数|x-p1|-|x-p2|(x∈R)的最大值为|p2-p1| ，故（*）等价于3|p2-p1|≤2，即|p2-p1|≤log32，这就是所求的充分必要条件． (Ⅱ)分两种情形讨论． (ⅰ)当|p1-p2|≤log32时，由(Ⅰ)知f(x)=f1(x)（对所有实数x∈[a，b]），则由f(a)=f(b)及a＜p1＜b易知，再由的单调性可知，f(x)在区间[a，b]上的单调增区间的长度为，如下图， (ⅱ)当|p1-p2|＞log32时，不妨设p1＜p2，则p2-p1＞log32，于是，当x≤p1时，有f1(x)=3p1-x＜3p2-x＜f2(x)，从而f(x)=f1(x)；当x≥p2时，f1(x)=3x-p1=3p2-p1·3x-p2＞3log32·3x-p2=f2(x)，从而f(x)=f2(x)；当p1＜x＜p2时，f1(x)=3x-p1及f2(x)=2·3p2-x，由方程3x0-p1=2·3p2-x0，解得f1(x)与f2(x)图象交点的横坐标为，① 显然，这表明x0在p1与p2之间，由①易知；综上可知，在区间[a，b]上， 如下图所示，故由函数f1(x)与f2(x)的单调性可知，f(x)在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为（x0-p1）+（b-p2），由于f(a)=f(b)，即3p1-a=2·3b-p2，得 p1+p2=a+b+log32，② 故由①、②得； 综合(ⅰ)、(ⅱ)可知，f(x)在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为。

点击查看分段函数与抽象函数知识点讲解,巩固学习

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f1(x)=3|x-.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的； 分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。  抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数； 一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。 2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。 3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。