已知函数f(x)=log13x，当x∈[13，3]时，求f的反函数g；求关于x的函数y=[g]2

题文

已知函数f(x)=log13x，（1）当x∈[13，3]时，求f（x）的反函数g（x）；（2）求关于x的函数y=[g（x）]2-2ag（x）+3（a≤3）当x∈[-1.1]时的最小值h（a）；（3）我们把同时满足下列两个性质的函数称为“和谐函数”：①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数；②在函数的定义域内存在区间[p，q]（p＜q）使得函数在区间[p，q]上的值域为[p2，q2]．（Ⅰ）判断（2）中h（x）是否为“和谐函数”？若是，求出p，q的值或关系式；若不是，请说明理由；（Ⅱ）若关于x的函数y=x2-1+t（x≥1）是“和谐函数”，求实数t的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由y=log13x得x=(13)y∴f-1(x)=(13)x(-1≤x≤1) （2）令t=f-1（x），x∈[-1，1]．由（1）知t∈[13，3]．∴函数y=[f-1（x）]2-2a[f-1（x）]+3=t2-2at+3   (13≤t≤3)对称轴x=a（a≤3）①a≤13时，ymin=(13)2-2a3+3=289-2a3②13＜a≤3，ymin=a2-2a2+3=3-a2．∴g(a)=289- 2a3(a≤13)3-a2(13＜a≤3)．   （3）对（2）中g(a)=289-2a3(a≤13)3-a2(13＜a≤3)，易知g（x）在（-∞，3]上单减．（3）（I）若g（x）为“和谐函数”，则g（x）在（-∞，3]上存在区间[p，q]（p＜q），使得g（x）在区间[p，q]上的值域为[p2，q2]．①若p＜q≤13，g（x）递减， 289-2p3= q2289-2q3=p2得p+q=23，这与p＜q≤13矛盾．②13≤p＜q≤3时3-p2=q23-q2=p2恒成立 此时p、q、满足p2+q2=313≤p＜q≤3，这样的p，q存在．③p＜13，13＜q≤3时，解得p=13矛盾                     ∴（2）中g（x）是“和谐函数”，p、q满足p2+q2=313≤p＜q≤3（II）∵y=x2-1+t在[1，+∞）递增，有和谐函数的定义知，该函数在定义域[1，+∞）内，存在区间[p，q]（p＜q），使得该函数在区间[p，q]上的值域为[p2，q2]

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=log13x，（1）当.....”主要考查你对 [反函数 ]考点的理解。 反函数

定义：

设式子y=f（x）表示y是x的函数，定义域为A，值域为C，从式子y=f（x）中解出x，得到式子x=（y），如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=（y），x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=（y）就表示y是x的函数，这样的函数叫做y=f（x）的反函数，记作x=f-1（y），即x=（y）＝f-1（y），一般对调x=f-1（y）中的字母x，y，把它改写成y=f-1（x）。

反函数的一些性质：

（1）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，称为互调性； （2）定义域上的单调函数必有反函数，且单调性相同（即函数与其反函数在各自的定义域上的单调性相同），对连续函数而言，只有单调函数才有反函数，但非连续的非单调函数也可能有反函数； （3）函数y=f（x）的图象与其反函数y=f-1（x）的图象关于直线y=x对称，但要注意：函数y=f（x）的图象与其反函数x=（y）＝f-1（y）的图象相同。（对称性） （4）设y=f(x)与y=g(x)互为反函数，如果点(a,b)在函数y=f(x)的图像上，那么点(b,a)在它的反函数y=g(x)的图像上。（5）函数y=f（x）的反函数是y=f-1（x），函数y=f-1（x ）的反函数是y=f（x），称为互反性，但要特别注意； （6）函数y=f（x）的图象与其反函数y=f-1（x）的图象的交点，当它们是递增时，交点在直线y=x上。当它们递减时，交点可以不在直线y=x上， 如与互为反函数且有一个交点是，它不再直线y=x上。 （7）还原性：。

求反函数的步骤：

（1）将y=f（x）看成方程，解出x=f-1（y）； （2）将x，y互换得y =f-1（x）； （3）写出反函数的定义域（可根据原函数的定义域或反函数的解析式确定）； 另外：分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成。