设a为实数，方程2x2

题文

（本题满分8分．老教材试题第1小题4分，第2小题4分；新教材试题第1小题3分，第2小题5分．）（老教材）设a为实数，方程2x2-8x+a+1=0的一个虚根的模是5．（1）求a的值；（2）在复数范围内求方程的解．（新教材）设函数f（x）=2x+p，（p为常数且p∈R）（1）若f（3）=5，求f（x）的解析式；（2）在满足（1）的条件下，解方程：f-1（x）=2+log2x2． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（老教材）（1）设方程2x2-8x+a+1=0的两个虚根为z1，z2由于该方程为实系数方程，所以方程两根必为共轭虚根，即z1=.z2又|z1|2=z1•.z1=z1•z2=a+12=5⇒a=9．（2）由（1）得方程2x2-8x+10=0，即x2-4x+5=0解得z1=2+i，z2=2-i．（新教材）（1）据题意f（3）=5代入f（x）=2x+p，得23+p=5⇒p=-3，所以f（x）=2x-3．（2）由2x=y+3，得x=log2（y+3）所以f-1（x）=log2（x+3），x∈（-3，0）∪（0，+∞）．故方程即为log2（x+3）=2+log2x2，⇒log2（x+3）=log2（4x2）⇒4x2-x-3=0，解得x=1，x=-34．由于，经检验x1=1，x2=-34都为原方程的根．

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解析

.z2

考点

据考高分专家说，试题“（本题满分8分．老教材试题第1小题4分，.....”主要考查你对 [反函数 ]考点的理解。 反函数

定义：

设式子y=f（x）表示y是x的函数，定义域为A，值域为C，从式子y=f（x）中解出x，得到式子x=（y），如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=（y），x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=（y）就表示y是x的函数，这样的函数叫做y=f（x）的反函数，记作x=f-1（y），即x=（y）＝f-1（y），一般对调x=f-1（y）中的字母x，y，把它改写成y=f-1（x）。

反函数的一些性质：

（1）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，称为互调性； （2）定义域上的单调函数必有反函数，且单调性相同（即函数与其反函数在各自的定义域上的单调性相同），对连续函数而言，只有单调函数才有反函数，但非连续的非单调函数也可能有反函数； （3）函数y=f（x）的图象与其反函数y=f-1（x）的图象关于直线y=x对称，但要注意：函数y=f（x）的图象与其反函数x=（y）＝f-1（y）的图象相同。（对称性） （4）设y=f(x)与y=g(x)互为反函数，如果点(a,b)在函数y=f(x)的图像上，那么点(b,a)在它的反函数y=g(x)的图像上。（5）函数y=f（x）的反函数是y=f-1（x），函数y=f-1（x ）的反函数是y=f（x），称为互反性，但要特别注意； （6）函数y=f（x）的图象与其反函数y=f-1（x）的图象的交点，当它们是递增时，交点在直线y=x上。当它们递减时，交点可以不在直线y=x上， 如与互为反函数且有一个交点是，它不再直线y=x上。 （7）还原性：。

求反函数的步骤：

（1）将y=f（x）看成方程，解出x=f-1（y）； （2）将x，y互换得y =f-1（x）； （3）写出反函数的定义域（可根据原函数的定义域或反函数的解析式确定）； 另外：分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成。