已知函数f=x2

题文

已知函数f（x）=x2-1（x≤0），数列{an}满足an=f-1（an-12）（n≥2）且a1=-1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}的通项bn=1an+1+an，{bn}的前n项之和为Sn，试比较Sn和23an的大小． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由f（x）=x2-1（x≤0），得f-1(x)=-x+1(x≥-1)，又∵an=f-1（an-12）⇒an=-a2n-1+1(an≤-1，n≥2)⇒a2n-a2n-1=1，所以{an2}是首项a12=1，公差为1的等差数列，故an2=n，即an=-n．（2）由（1）得bn=1an+1+an=-1n+1+n=-(n+1-n)，所以Sn=-[(2-1)+(3-2)+…+(n+1-n)=1-n+1，令Sn-23an=1-n+1+23n＞0，解得：n＜14425＜6，所以，当1≤n≤5时，Sn＞23an；当n≥6时，Sn＜23an．

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解析

x+1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2-1（x≤0），数.....”主要考查你对 [反函数 ]考点的理解。 反函数

定义：

设式子y=f（x）表示y是x的函数，定义域为A，值域为C，从式子y=f（x）中解出x，得到式子x=（y），如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=（y），x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=（y）就表示y是x的函数，这样的函数叫做y=f（x）的反函数，记作x=f-1（y），即x=（y）＝f-1（y），一般对调x=f-1（y）中的字母x，y，把它改写成y=f-1（x）。

反函数的一些性质：

（1）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，称为互调性； （2）定义域上的单调函数必有反函数，且单调性相同（即函数与其反函数在各自的定义域上的单调性相同），对连续函数而言，只有单调函数才有反函数，但非连续的非单调函数也可能有反函数； （3）函数y=f（x）的图象与其反函数y=f-1（x）的图象关于直线y=x对称，但要注意：函数y=f（x）的图象与其反函数x=（y）＝f-1（y）的图象相同。（对称性） （4）设y=f(x)与y=g(x)互为反函数，如果点(a,b)在函数y=f(x)的图像上，那么点(b,a)在它的反函数y=g(x)的图像上。（5）函数y=f（x）的反函数是y=f-1（x），函数y=f-1（x ）的反函数是y=f（x），称为互反性，但要特别注意； （6）函数y=f（x）的图象与其反函数y=f-1（x）的图象的交点，当它们是递增时，交点在直线y=x上。当它们递减时，交点可以不在直线y=x上， 如与互为反函数且有一个交点是，它不再直线y=x上。 （7）还原性：。

求反函数的步骤：

（1）将y=f（x）看成方程，解出x=f-1（y）； （2）将x，y互换得y =f-1（x）； （3）写出反函数的定义域（可根据原函数的定义域或反函数的解析式确定）； 另外：分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成。