已知函数f=ln。求函数y=f的反函数y=f

题文

已知函数f（x）=ln（ex+a）（a＞0）。（1）求函数y=f（x）的反函数y=f-1（x）及f（x）的导数f′（x）；（2）假设对任意x∈[ln（3a），ln（4a）]，不等式|m-f-1（x）|+ln（f′（x））＜0成立，求实数m的取值范围。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）设y=ln（ex+a），a＞0，则ey=ex+a，∴ex=ey-a，a＞0，∴x=ln（ey-a），x，y互换得到函数y=f（x）的反函数f-1（x）=ln（ex-a），x∈R；f′（x）=。（2）由|m-f-1（x）|+ln（f'（x））＜0得ln（ex-a）-ln（ex+a）+x＜m＜ln（ex-a）+ln（ex+a）-x设φ（x）=ln（ex-a）-ln（ex+a）+x，ψ（x）=ln（ex-a）+ln（ex+a）-x，于是原不等式对于x∈[ln（3a），ln（4a）]恒成立等价于φ（x）＜m＜ψ（x）①由，注意到故有从而φ（x）与ψ（x）均在[ln（3a），ln（4a）]上单调递增因此不等式①成立当且仅当即。

点击查看反函数知识点讲解,巩固学习

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ln（ex+a）.....”主要考查你对 [反函数 ]考点的理解。 反函数

定义：

设式子y=f（x）表示y是x的函数，定义域为A，值域为C，从式子y=f（x）中解出x，得到式子x=（y），如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=（y），x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=（y）就表示y是x的函数，这样的函数叫做y=f（x）的反函数，记作x=f-1（y），即x=（y）＝f-1（y），一般对调x=f-1（y）中的字母x，y，把它改写成y=f-1（x）。

反函数的一些性质：

（1）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，称为互调性； （2）定义域上的单调函数必有反函数，且单调性相同（即函数与其反函数在各自的定义域上的单调性相同），对连续函数而言，只有单调函数才有反函数，但非连续的非单调函数也可能有反函数； （3）函数y=f（x）的图象与其反函数y=f-1（x）的图象关于直线y=x对称，但要注意：函数y=f（x）的图象与其反函数x=（y）＝f-1（y）的图象相同。（对称性） （4）设y=f(x)与y=g(x)互为反函数，如果点(a,b)在函数y=f(x)的图像上，那么点(b,a)在它的反函数y=g(x)的图像上。（5）函数y=f（x）的反函数是y=f-1（x），函数y=f-1（x ）的反函数是y=f（x），称为互反性，但要特别注意； （6）函数y=f（x）的图象与其反函数y=f-1（x）的图象的交点，当它们是递增时，交点在直线y=x上。当它们递减时，交点可以不在直线y=x上， 如与互为反函数且有一个交点是，它不再直线y=x上。 （7）还原性：。

求反函数的步骤：

（1）将y=f（x）看成方程，解出x=f-1（y）； （2）将x，y互换得y =f-1（x）； （3）写出反函数的定义域（可根据原函数的定义域或反函数的解析式确定）； 另外：分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成。