定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知函数；. 当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有

题文

定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知函数；. （1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围；（3）若，函数在上的上界是，求的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）在的值域为，故不存在常数，使成立所以函数在上不是有界函数。（2）实数的取值范围为。（3）当时，的取值范围是；当时，的取值范围是

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解析

[解]：（1）当时， 因为在上递减，所以，即在的值域为故不存在常数，使成立所以函数在上不是有界函数。   ……………4分（没有判断过程，扣2分）（2）由题意知，在上恒成立。………5分，         ∴  在上恒成立………6分∴   ………7分设，，，由得 t≥1，设，所以在上递减，在上递增，………9分（单调性不证，不扣分）在上的最大值为， 在上的最小值为 所以实数的取值范围为。…………………………………11分（3），∵   m>0 ，     ∴ 在上递减，…12分∴      即………13分①当，即时，， ………14分此时 ，………16分②当，即时，， 此时 ，   ---------17分综上所述，当时，的取值范围是；当时，的取值范围是………18分

考点

据考高分专家说，试题“定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常.....”主要考查你对 [指数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 指数函数的解析式及定义（定义域、值域）

指数函数的定义：

一般地，函数y=ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）。

指数函数的解析式：

y=ax（a＞0，且a≠1）

 理解指数函数定义，需注意的几个问题：

①因为a>0，x是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．②规定底数a大于零且不等于1的理由： 如果a<0，比如y=(-4)x，这时对于在实数范围内函数值不存在．如果a=1，y=1x=1是一个常量，对它就没有研究的必要，为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1．③像等函数都不是指数函数，要注意区分。